Contoh Root Locus dan penyelesaiannya

Contoh Root Locus dan penyelesaiannya :

Diberikan sistem umpan balik satuan seperti gambar di atas (dengan).

1. Untuk sistem ini, gambarkan sketsa plot Root Locus.
2. Tentukan nilai penguatan proporsional,  sehingga rasio redaman,  pada akar-akar dominan kompleks-lup tertutupnya adalah 0,5.

Penyelesaian:

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang-.

•       Pole dan zero lup terbuka:

•       Pole:

•       Zero: (tidak ada)

2.      Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

-          Syarat Sudut:

           

-          Ambil titik uji: bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.

 

3.      Tentukan asimtot Root Locus:

-          Jumlah asimtot

Dimana : n = banyaknya pole dan

   m = banyaknya zero

     

-          Sudut-sudut asimtot

-          Titik potong asimtot

  

                                      

4.      Tentukan titik break-away/break-in.

 

dimana                        

           

sehingga:

 

            (berada pada Root Locus)

5.      Tentukan sudut sudut datang

 

Pada contoh soal, tidak ada sudut datang/pergi karena tidak mempunyai pole dan zero (lup terbuka) kompleks.

6.      Cari perpotongan Root Locus dengan sumbu imajiner.

Cara 1: dengan uji kestabilan Routh-Hurwitz

-          Persamaan karakteristik sistem:

-          Tabel Routh-Hurwitz:

 

-          Diperoleh  

-          Pada tabel baris ke-2:

-           

-          Titik Potong Sb. Imajiner:

Cara 2: dengan substitusi  pada persamaan karakteristik

•       Persamaan karakteristik sistem:

•       substitusi  :

•       dipisahkan bagian riil dan imajinernya menjadi:

•       bagian riil dan imajinernya bernilai nol, shg diperoleh:

                                                 à

•       atau titik potong sb. imajiner:

7.      Cari titik-titik bantu lain di sekitar sb. Imajiner dan titik asal (opsional).

•       Gunakan syarat sudut:

8.      Gambar Root Locus dengan menghubungkan titik-titik bantu Root Locus yang sudah diperoleh pada tahapan sebelumnya.